ЕГЭ по математике 11 класс. Профильный уровень Задачи второй части реального ЕГЭ 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023 год.
Это сборник заданий второй части реального ЕГЭ по профильной математике. Задания досрочной, основной и резервной волн, которые соответствует демо версии ЕГЭ 2024. Ко всем заданиям даны ответы. Уровень задач может колебаться от года к году, но общее представление и уровень сложности они отражают хорошо.
Задачи даны в хронологическом порядке, чтобы можно было проследить, как менялись те или иные задания второй части профиля. Небольшое напутствие перед тем, как вы приступите к решению задач. Цитирую по книге М. Норбеков «Опыт дурака 5: Ошибки, которые совершают люди».
Скачать задания ЕГЭ: Скачать
Смотреть онлайн
Интересные задания:
1. (Досрочная волна 29.03.2019) Дана пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶, в которой 𝑆𝐶 = 𝑆𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = √ 17 , 𝑆𝐴 = 𝐵𝐶 = 2 √ 5. а) Докажите, что ребро 𝑆𝐴 перпендикулярно ребру 𝐵𝐶. б) Найдите расстояние между ребрами 𝐵𝐶 и 𝑆𝐴.
2. (Досрочная волна 29.03.2019) Дана пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶, в которой 𝑆𝐶 = 𝑆𝐵 = √ √ 17 , 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 29 , 𝑆𝐴 = 𝐵𝐶 = 2 √ 5. а) Докажите, что ребро 𝑆𝐴 перпендикулярно ребру 𝐵𝐶. б) Найдите угол между прямой 𝑆𝐴 и плоскостью 𝑆𝐵𝐶.
3. (Досрочная волна 10.04.2019) В конусе с вершиной 𝑆 и центром основания 𝑂 радиус основания равен 13, а высота равна 3 √ 41. Точки 𝐴 и 𝐵 – концы образующих, 𝑀 – середина 𝑆𝐴 , 𝑁 – точка в плоскости основания такая, что прямая 𝑀𝑁 параллельна прямой 𝑆𝐵. а) Докажите что 𝐴𝑁𝑂 – прямой угол. б) Найдите угол между 𝑀𝐵 и плоскостью основания, если дополнительно известно что 𝐴𝐵 = 10.
4. (Основная волна, 29.05.2019) В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 сторона основания 𝐴𝐵 = 3, а боковое ребро 𝑆𝐴 = 2. На рёбрах 𝐴𝐵 и 𝑆𝐶 отмечены точки 𝐾 и 𝑀 соответственно, причём 𝐴𝐾 : 𝐾𝐵 = 𝑆𝑀 : 𝑀𝐶 = 1 : 2. Плоскость 𝛼 содержит прямую 𝐾𝑀 и параллельна 𝑆𝐴. а) Докажите, что плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴𝐶 в отношении 1 : 2 , считая от вершины 𝐴. б) Найдите расстояние между прямыми 𝑆𝐴 и 𝐾𝑀.
5. (Основная волна, 29.05.2019) В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона основания 𝐴𝐵 равна 4, а боковое ребро 𝑆𝐴 = 8. На рёбрах 𝐶𝐷 и 𝑆𝐶 отмечены точки 𝑁 и 𝐾 соответственно, причём 𝐷𝑁 : 𝑁𝐶 = 𝑆𝐾 : 𝐾𝐶 = 1 : 3. Плоскость 𝛼 содержит прямую 𝐾𝑁 и параллельна прямой 𝐵𝐶. а) Докажите, что плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴𝐵 в отношении 1 : 3 , считая от вершины 𝐴. б) Найдите расстояние между прямыми 𝑆𝐴 и 𝐾𝑁.
10. (Резервная волна, 24.06.2019) В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 рёбра равны 1. На продолжении отрезка 𝐴 1 𝐶 1 за точку 𝐶 1 отмечена точка 𝑀 так, что 𝐴 1 𝐶 1 = 𝐶 1 𝑀, а на продолжении отрезка 𝐵 1 𝐶 за точку 𝐶 отмечена точка 𝑁 так, что 𝐵 1 𝐶 = 𝐶𝑁. а) Докажите, что 𝑀𝑁 = 𝑀𝐵 1. б) Найдите расстояние между прямыми 𝐵 1 𝐶 1 и 𝑀𝑁.
1. (Досрочная волна 27.03.2020) В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона основания 𝐴𝐵 равна 4, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно 7. На рёбрах 𝐶𝐷 и 𝑆𝐶 отмечены точки 𝑁 и 𝐾 соответственно, причём 𝐷𝑁 : 𝑁𝐶 = 𝑆𝐾 : 𝐾𝐶 = 1 : 3. Плоскость 𝛼 содержит прямую 𝐾𝑁 и параллельна прямой 𝐵𝐶. а) Докажите, что плоскость 𝛼 параллельна прямой 𝑆𝐴. б) Найдите угол между плоскостями 𝛼 и 𝑆𝐵𝐶.
2. (Основная волна, 10.07.2020) В правильной шестиугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 сторона основания 𝐴𝐵 = 7, а боковое ребро 𝑆𝐴 = 10. Точка 𝑀 лежит на ребре 𝐵𝐶, причем 𝐵𝑀 = 4, точка 𝐾 лежит на ребре 𝑆𝐶, причем 𝑆𝐾 = 7. а) Докажите, что плоскость 𝑀𝐾𝐷 перпендикулярна плоскости основания пирамиды. б) Найдите объем пирамиды 𝐶𝐷𝐾𝑀.
1. (Досрочная волна 29.04.2021) Точка 𝐸 лежит на высоте 𝑆𝑂, а точка 𝐹 – на боковом ребре 𝑆𝐶 правильной четырехугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, причем 𝑆𝐸 : 𝐸𝑂 = 𝑆𝐹 : 𝐹 𝐶 = 2 : 1. а) Докажите, что плоскость 𝐵𝐸𝐹 пересекает ребро 𝑆𝐷 в его середине. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью 𝐵𝐸𝐹, если 𝐴𝐵 = 8 , 𝑆𝑂 = 14.
11. (Основная волна 02.06.2017) В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 147000 рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года.
12. (Резервная волна 28.06.2017) Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно 𝑡2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 𝑡 единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, – 300 рублей. Вадим готов выделять 1200000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
15. (Резервная волна 28.06.2017) Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10 𝑡 тыс. рублей в конце года 𝑡 ( 𝑡 = 1; 2; 3; . . .). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в 1 + 𝑟 раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года. При каких положительных значениях 𝑟 это возможно?
1. (Досрочная волна 30.03.2018) В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено 311040 рублей?
10. (Основная волна 03.06.2013) Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число 𝑛, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число 𝑛, а остальные числа, равные 𝑛, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11. а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22? в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.
Вы можете создать экзаменационный типовой вариант ВПР, ЕГЭ и ОГЭ на нашем сайте