Подборка олимпиадных заданий аналогичных ЕГЭ

Набор задач, аналогичных тем, которые встречаются на ЕГЭ, с указанием источника перед каждой задачей. Каждая задача снабжена подробным решением.

Некоторые из задач представляют повышенный уровень сложности, что делает этот набор особенно интересным для любителей вызовов.

Скачать подборку задач: Скачать

Смотреть онлайн

(Источник: http://mathus.ru/math/ege21.pdf; задача №24 с конца) Задание №19 из ЕГЭ профильного уровня.
Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъемностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъемностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывести все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Решение.
а) Все 50 глыб по 800 кг разложим в 10 грузовиков – в каждый по 5 глыб (то есть по 4 тонны). Все 60 глыб по 1000 кг разложим в 20 грузовиков – в каждый по 3 глыбы (то есть по 3 тонны). Все 60 глыб по 1500 кг разложим в 30 грузовиков – в каждый по 2 глыбы (то есть по 3 тонны). Как видим, все глыбы разместились в  грузовиках.
б) Заметим, что  т есть как раз суммарная масса глыб.

Предположим, что можно вывести все глыбы на 38 грузовиках. Тогда в каждом грузовике находится в точности по 5 тонн. Заметим следующее:

• ровно одна 800-киллограммовая глыба в грузовике лежать не может, так как оставшуюся массу кг нельзя набрать глыбами по 1000 и 1500 кг;
• ровно две 800-киллограммовые глыбы в грузовике лежать не могут, так как оставшуюся массу кг нельзя набрать глыбами по 1000 и 1500 кг;
• ровно три 800-киллограммовые глыбы в грузовике лежать не могут, так как оставшуюся массу кг нельзя набрать глыбами по 1000 и 1500 кг;
• ровно четыре 800-киллограммовые глыбы в грузовике лежать не могут, так как оставшуюся массу кг нельзя набрать глыбами по 1000 и 1500 кг;
• ровно шесть 800-киллограммовых глыбы в грузовике лежать не могут, так как оставшуюся массу кг нельзя набрать глыбами по 1000 и 1500 кг;
• семь и более 800-киллограммовых глыб в грузовик не влезут .

Значит, если в грузовике имеются 800-киллограммовые глыбы, то их там ровно 5 штук с общей массой 4000 кг. Недостающие 1000 кг в этом грузовике заполняются единственным образом – глыбой в 1000 кг. Так будут заполнены  грузовиков.

Остальные 28 грузовиков должны быть заполнены только глыбами массой 1000 и 1500 кг. Заметим следующее:

• ровно одна 1500-киллограммовая глыба в грузовике лежать не может, так как оставшуюся массу кг нельзя набрать глыбами по 1000 кг;
• ровно три 1500-киллограммовах глыбы в грузовике лежать не могут, так как оставшуюся массу кг нельзя набрать глыбами по 1000 кг;
• четыре и более 1500-киллограммовых глыб в грузовик не влезут .

Следовательно, в каждом из оставшихся 28 грузовиков должны лежать ровно две глыбы по 1500 кг (и две глыбы по 1000 кг). Но , а 1500-киллограммовых глыб у нас 60. Полученное противоречие показывает, что 38 грузовиков не хватит для одновременного вывоза всех глыб.

в) Из предыдущего пункта следует, что грузовиков должно быть не менее 39. Приведем пример раскладки глыб по 39 грузовикам:

• в каждый из 30 грузовиков кладём две 1500-киллограммовые глыбы и две 1000-киллограммовые глыбы (тем самым глыбы обоих видов разложены полностью);
• в каждый из 8 грузовиков кладём по шесть 800-киллограмовых глыб (тем самым разложены 48 таких глыб);
• в один грузовик кладём оставшиеся две 800-киллограммовые глыбы.

Следовательно, наименьшее число грузовиков, необходимое для одновременного вывоза всех глыб, равно 39.

Ответ: а) да; б) нет; в) 39 грузовиков.

• Источник: ПВГ, 2011, Москва, №1. Задача 10, 11 (или 19 слабая) из ЕГЭ.

<Для нумерации всех парковочных мест на стоянке (подряд от первого до последнего) рядом с каждым местом был установлен его номер, составленный из табличек, на каждой из которых написано по одной цифре. В общей сложности было использовано 2148 табличек. Сколько мест на парковке? Каких цифр было использовано больше всего, а каких – меньше всего?

Решение.
Понятно, что до четырехзначных номеров дело не дошло:
Тогда:
Итого  места на парковке.
При нумерации мест от 1 до 99 всех цифр использовано поровну (по 20), кроме 0, которого использовано на 11 меньше, чем остальных цифр (так как нумерация начинается с 1, а не с 0, и нет десятков, начинающихся с 0). В каждой полной сотне используется 120 цифр, с которой начинается сотня и 20 остальных цифр (например, при нумерации от 100 до 199 будет использовано 120 единиц, а остальных цифр (включая ноль) – по 20). Так как мест всего 752, то нет сотен, начинающихся с цифр 0, 8 и 9. Седьмая сотня не полная, в ней пятый десяток не полный (в нем есть только числа 750, 751, 752). В таблице показано, сколько раз использована каждая цифра.

Ответ: 752; больше всего использовано 1 и 2 (поровну), меньше всего использовано 0, 8, 9 (поровну).

Вы можете создать экзаменационный типовой вариант ВПР, ЕГЭ и ОГЭ на нашем сайте