ЕГЭ 2023. Практика по заданию №13 в ЕГЭ-2023 по профильной математике. Стереометрия. Работа включает в себя 8 тренировочное задание с решением. Работа предназначена для подготовки к экзамену, который пройдёт 1 июня 2023 года.
Скачать практику: Скачать
Смотреть онлайн
Интересные задания:
1. Основанием прямой треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые 𝐶𝐴1 и 𝐴𝐵1 перпендикулярны.
а) Докажите, что 𝐴𝐴1=𝐴𝐶.
б) Найдите расстояние между прямыми 𝐶𝐴1 и 𝐴𝐵1, если 𝐴𝐶=7, 𝐵𝐶=8.
2. Дана треугольная пирамида DABC. Точки M, N, P, Q лежат на рёбрах AB, BC, AD, CD, причем 𝐴𝑀:𝑀𝐵=𝐶𝑁:𝑁𝐵=1:2. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M, N лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
3. SABCD – правильная пирамида. Точка M находится на ребре SD, 𝑀𝑆:𝑆𝐷=2:3. Точка P – середина ребра AD, а Q – середина ребра BC.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ – равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
4. Дана пирамида PABCD, в основании – трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PAD.
б) Найдите объем PKBC, если 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=3, а высота равна 8.
5. Основанием прямой треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней 𝐴𝐴1𝐵1𝐵 и 𝐵𝐵1𝐶1𝐶 равны 15 и 9 соответственно, 𝐴𝐵=13.
а) Докажите, что треугольник 𝐵𝐴1𝐶1 – прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды 𝐴𝐴1𝐶1𝐵.
6. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 4√2. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.
7. Основанием прямой треугольной призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань 𝐴𝐶𝐶1𝐴1 является квадратом.
а) Докажите, что прямые 𝐶𝐴1 и 𝐴𝐵1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми 𝐶𝐴1 и 𝐴𝐵1, если 𝐴𝐶=4, 𝐵𝐶=7.
8. В треугольной пирамиде SABC известны боковые ребра 𝑆𝐴=𝑆𝐵=13, 𝑆𝐶=3√17. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объем пирамиды SABC.
Вы можете создать экзаменационный типовой вариант ВПР, ЕГЭ и ОГЭ на нашем сайте