Сборник ЕГЭ 2024: 36 тренировочных вариантов для успешной подготовки к экзамену по математике.
В этом сборнике вы найдёте все 17 заданий по геометрии второй части ЕГЭ. Для каждого задания уже предоставлены решения и ответы, что поможет вам лучше понять материал и успешно подготовиться к реальному экзамену.
Экзамен по математике состоится 31 мая 2024 года, и этот сборник станет вашим надёжным помощником в подготовке к нему.
Скачать практику по заданиям: Скачать
Смотреть онлайн
Интересные задания:
1 Прямая, перпендикулярная стороне 𝐵𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, а диагональ 𝐵𝐷 в точке 𝑁, причём 𝐴𝑀 : 𝑀𝐶 = 1:2, причём 𝐵𝑁 : 𝑁𝐷 = 1:3.
a) Докажите, что прямая 𝑀𝑁 делит сторону ромба 𝐵𝐶 в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если 𝑀𝑁 = √
2 Прямая, перпендикулярная стороне 𝐴𝐵 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝐾, а диагональ 𝐵𝐷 в точке 𝐿, причём 𝐴𝐾 : 𝐾𝐶 = 1:3, причём 𝐵𝐿 : 𝐿𝐷 = 2:1.
a) Докажите, что прямая 𝐾𝐿 делит сторону ромба 𝐴𝐵 в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если 𝐾𝐿 = 6.
3 В прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐴 вписана окружность с центром в точке 𝑂 и радиусом 𝑅. К этой окружности параллельно прямой 𝐴𝐵 проведена касательная, которая пересекает стороны 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. В треугольник 𝐶𝐷𝐸 вписана окружность с центром в точке 𝑂1 и радиусом 𝑟. Прямые 𝑂𝑂1 и 𝐴𝐵 пересекаются в точке 𝑃.
a) Докажите, что 𝐴𝑃 : 𝑃 𝐵 = cos ∠𝐴𝐶𝐵.
б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝑅 = 6, 𝑟 = 4.
4 В прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐴 вписана окружность с центром в точке 𝑂 и радиусом 𝑅. К этой окружности параллельно прямой 𝐴𝐵 проведена касательная, которая пересекает стороны 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. В треугольник 𝐶𝐷𝐸 вписана окружность с центром в точке 𝑂1 и радиусом 𝑟. Прямые 𝑂𝑂1 и 𝐴𝐵 пересекаются в точке 𝑃.
a) Докажите, что 𝐴𝑃 : 𝑃 𝐵 = cos ∠𝐴𝐶𝐵.
б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝑅 = 5, 𝑟 = 3.
5 В трапеции 𝐾𝐿𝑀𝑁 с основаниями 𝐾𝑁 и 𝑀𝐿 провели биссектрисы углов 𝐿𝐾𝑁 и 𝐿𝑀𝑁, которые пересеклись в точке 𝑃. Через точку 𝑃 параллельно прямой 𝐾𝑁 провели прямую, которая пересекла стороны 𝐿𝐾 и 𝑀𝑁 соответственно в точках 𝐴 и 𝐵. При этом 𝐴𝐵 = 𝐾𝐿.
a) Докажите, что трапеция 𝐾𝐿𝑀𝑁 равнобедренная.
б) Найдите cos ∠𝐿𝐾𝑁, если 𝐾𝑃 : 𝑃𝑀 = 2 : 3, 𝐴𝑃 : 𝑃 𝐵 = 1 : 2.
6 В трапеции 𝐾𝐿𝑀𝑁 с основаниями 𝐾𝑁 и 𝑀𝐿 провели биссектрисы углов 𝐿𝐾𝑁 и 𝐿𝑀𝑁, которые пересеклись в точке 𝑃. Через точку 𝑃 параллельно прямой 𝐾𝑁 провели прямую, которая пересекла стороны 𝐿𝐾 и 𝑀𝑁 соответственно в точках 𝐴 и 𝐵. При этом 𝐴𝐵 = 𝐾𝐿.
a) Докажите, что трапеция 𝐾𝐿𝑀𝑁 равнобедренная.
б) Найдите cos ∠𝐿𝐾𝑁, если 𝐾𝑃 : 𝑃𝑀 = 4 : 3, 𝐴𝑃 : 𝑃 𝐵 = 3 : 2.
7 На стороне 𝐵𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 отметили точку 𝐸 так, что 𝐵𝐸 : 𝐸𝐶 = 1 : 4. Через точку 𝐸 перпендикулярно 𝐵𝐶 провели прямую, которая пересекает диагонали 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 в точках 𝑅 и 𝑀 соответственно , при этом 𝐵𝑅 : 𝑅𝐷 = 1 : 3.
a) Докажите, что точка 𝑀 делит отрезок 𝐴𝐶 в отношении 2 : 1, считая от вершины 𝐶.
б) Найдите периметр ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝑀𝑅 = 2√
8 На стороне 𝐵𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 отметили точку 𝐸 так, что 𝐵𝐸 : 𝐸𝐶 = 1 : 3. Через точку 𝐸 перпендикулярно 𝐵𝐶 провели прямую, которая пересекает диагонали 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 в точках 𝑅 и 𝑀 соответственно , при этом 𝐵𝑅 : 𝑅𝐷 = 1 : 2.
a) Докажите, что точка 𝑀 делит отрезок 𝐴𝐶 в отношении 3 : 2, считая от вершины 𝐶.
б) Найдите периметр ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝑀𝑅 = √15.
9 В равнобедренной трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 боковая сторона 𝐴𝐵 равна 𝑎, а основание 𝐴𝐷 = 𝑐 больше основания 𝐵С = 𝑏. Построена окружность, касающаяся сторон 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 и 𝐴𝐷.
a) Докажите, что если 𝑏 + 𝑐 > 2𝑎, то окружность пересекает сторону 𝐵𝐶 в двух точках.
б) Найдите длину той части отрезка 𝐵𝐶, которая находится внутри окружности, если 𝑐 = 12, 𝑏 = 10, 𝑎 = 8.
10 В равнобедренной трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 боковая сторона 𝐴𝐵 равна 𝑎, а основание 𝐴𝐷 = 𝑐 больше основания 𝐵С = 𝑏. Построена окружность, касающаяся сторон 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 и 𝐴𝐷.
a) Докажите, что если окружность не пересекает сторону 𝐵𝐶, то если 𝑏 + 𝑐 < 2𝑎.
б) Найдите длину той части средней линии трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, которая находится внутри окружности, если 𝑐 = 12, 𝑏 = 6, 𝑎 = 10.
11 В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐵𝐴𝐶 вдвое больше угла 𝐶𝐴𝐷. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. На продолжении стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸.
а) Докажите, что 𝐴𝐿 : 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 : 𝐵𝐶.
б) Найдите 𝐸𝐿, если 𝐴𝐶 = 21, tg ∠𝐵𝐶𝐴 = 0,4.
12 В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐵𝐴𝐶 вдвое больше угла 𝐶𝐴𝐷. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. На продолжении стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸.
а) Докажите, что 𝐴𝐵 : 𝐴𝐿 = 𝐵𝐶 : 𝐴𝐶.
б) Найдите 𝐸𝐿, если 𝐴𝐶 = 24, tg ∠𝐵𝐶𝐴 = 0,6.
13 Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 со сторонами 𝐵𝐶 = 7 и 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 20 вписан в окружность радиусом 𝑅 = 16.
а) Докажите, что прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 параллельны.
б) Найдите 𝐴𝐷.
14 Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 со сторонами 𝐵𝐶 = 14 и 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 40 вписан в окружность радиусом 𝑅 = 25.
а) Докажите, что прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 параллельны.
б) Найдите 𝐴𝐷.
15 В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 с меньшим основанием 𝐵𝐶 точки 𝐸 и 𝐹 — середины сторон 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 соответственно. В каждый из четырехугольников 𝐴𝐵𝐸𝐹 и 𝐸𝐶𝐷𝐹 можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝐴𝐵 = 7, а радиус окружности, вписанной в четырехугольник 𝐴𝐵𝐸𝐹, равен 2,5.
Вы можете создать экзаменационный типовой вариант ВПР, ЕГЭ и ОГЭ на нашем сайте