Сборник заданий основного этапа Единого государственного экзамена по математике 2024 года. Экзамен по математике в основной сессии прошёл 31 мая.
Скачать сборник ЕГЭ: Скачать
Смотреть онлайн
Интересные задания:
№1.1 (Дальний восток)
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 56◦, угол CAD равен 52◦. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Ответ 108
Решение
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠ABD + ∠CAD = 56◦ + 52◦ = 108◦
№1.2 (Дальний восток)
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 13, CD = 9. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.
Ответ 44
Решение
AD + BC = AB + CD
AD + BC = 22
P = 44 2
№1.3 (Дальний восток)
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 47◦, угол ABC равен 60◦ . Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Ответ 13
Решение
∠CAD = ∠CBD = ∠ABC − ∠ABD = 60◦ − 47◦ = 13◦.
№2.1 (Дальний восток)
Даны векторы ⃗a(17; 0) и ⃗b(1; −1). Найдите длину вектора ⃗a − 12⃗b.
Ответ 13
Решение
⃗a(17; 0) и ⃗b(1; −1). Тогда координаты вектора ⃗a − 12⃗b равны (5; 12). Значит, его длина равна a − 12 b = √ 5 2 + 122 = √ 132 = 13.
№2.2 (Дальний восток)
Даны векторы ⃗a = (1; 2),
⃗b = (3; −6) и ⃗c = (4; −3). Найдите значение выражения (⃗a +⃗b) · ⃗c.
Ответ 28
Решение
⃗a = (1; 2),
⃗b = (3; −6), тогда a +b = (1 + 3; 2 − 6) = (4; −4).
(a +b) = (4; −4), c = (4; −3),
значит (a +b) · c = 4 · 4 + (−4) · (−3) = 16 + 12 = 28.
№3.1 (Дальний восток)
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 6, BC = 5, AA1 = 4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1.
Ответ 60
Решение
Многогранник, объем которого необходимо найти, является треугольной пирамидой, высота которой равна BB1, а основание представляет собой прямоугольный треугольник ABC. Следовательно, этот объем равен
VB1ABC = 1 3 · BB1 · 1 2 · AB · BC = 1 3 · 6 · 1 2 · 9 · 7 = 63.
№3.2 (Дальний восток)
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 9, BC = 7, AA1 = 6. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1.
Ответ 63
Решение
Многогранник, объем которого необходимо найти, является треугольной пирамидой, высота которой равна BB1, а основание представляет собой прямоугольный треугольник ABC. Следовательно, этот объем равен VB1ABC = 1 3 · BB1 · 1 2 · AB · BC = 1 3 · 6 · 1 2 · 9 · 7 = 63.
№4.1 (Дальний восток)
В сборнике билетов по физике всего 25 билетов, в 15 из них встречается вопрос по теме «Механика». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме «Механика».
Ответ 0,4
Решение
Мы знаем общее количество билетов и количество билетов по теме «Механика», значит, можем найти количество билетов НЕ по теме «Механика»: 25 − 15 = 10.
Нас устроит любой попавшийся билет из этих 10: P(Билет НЕ по теме «Механика») = 10 25 = 2 5 = 0,4.
№4.2 (Центр)
В группе туристов 40 человек. С помощью жребия они выбирают шесть человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д, входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
№5.1 (Дальний восток)
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,9. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Ответ 0,271
Решение
Найдём вероятность противоположного события, то есть что все лампы перегорят: 0,9 · 0,9 · 0,9 = 0,729. Тогда искомая вероятность равна 1 − 0,729 = 0,271.
№5.2 (Центр)
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
№6.1 (Дальний восток)
Найдите корень уравнения √ 4x − 23 = 3.
Ответ 8
Решение
4x − 23 = 9 4x = 32 x = 8
№6.2 (Дальний восток)
Найдите корень уравнения 13 5x−6 = 81.
Ответ 0,4
Решение 3 −5x+6 = 34 −5x + 6 = 4 x = 0,4
№7.1 (Дальний восток)
Найдите значение выражения 4 √ 3 cos2 23π 12 − 4 √ 3 sin2 23π 12 .
Ответ 6
Решение
По формуле косинуса двойного угла cos 2x = cos2 x − sin2 x. Тогда 4 √ 3 cos2 23π 12 − 4 √ 3 sin2 23π 12 = 4√ 3 cos 23π 6 = 4√ 3 cos π 6 = 4√ 3 · √ 3 2=6.
№8.1 (Дальний восток)
На рисунке изображен график функции y = f(x) и отмечены точки −4; −2; 2; 5. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ 5
Решение
На промежутках возрастания функции производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна, следовательно, нужно сравнить значение производной в точках на промежутках возрастания — в точках x = −4 и x = 5. Значение производной в x = x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке x0, следовательно, среди положительных значений оно больше в той точке, где угол наклона касательной больше. Если провести касательные к данному графику в точках x = −4 и x = 5, то угол наклона касательной в точке x = 5 будет больше, следовательно, и значение производной в этой точке будет больше.
№9.1 (Дальний восток)
Автомобиль, движущийся со скоростью v0 = 30 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 4 м/c2 . За t секунд после начала торможения он прошёл путь S = v0t − at2 2 (м).
Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 112 метров. Ответ дайте в секундах.
Ответ 7
Решение Найдём, за какое время t, прошедшее от момента начала торможения, автомобиль пройдёт
112 метров: 30t − 2t 2 = 112 ⇒ t 2 − 15t + 56 = 0 ⇒ t = 7, t = 8. Так как через t = 15 2 = 7,5 секунд автомобиль остановится, то 112 метров он пройдёт через 7 секунд после начала торможения.
Вы можете создать экзаменационный типовой вариант ВПР, ЕГЭ и ОГЭ на нашем сайте