Содержание
1) Формулы сокращённого умножения
2) Свойства корней
3) Свойства степеней
4) Логарифмы их свойства
5) Модуль числа
6) Тригонометрические формулы
7) Задачи
7.1) Рациональные выражения
7.2) Иррациональные выражения
7.3) Действия со степенями
7.4) Преобразование логарифмических выражений
7.5) Преобразование тригонометрических выражений
8) Подсказки
9) Ответы.
Скачать практику по заданиям: Скачать
Смотреть онлайн
Интересные задания:
2 Свойства корней
Определение. Арифметическим квадратным корнем (далее просто "квадратный корень") из неотрицательного числа 𝑎 называется такое неотрицательное число 𝑏, квадрат которого равен 𝑎. Иными словами, √
𝑎 = 𝑏 ⇔ {︂ 𝑏 2 = 𝑎, 𝑏 ≥ 0.
▶ Пример. √ 36 = 6, т.к. 6 2 = 36 и 6 - неотрицательное число. Свойства квадратного корня
1. √ 𝑎𝑏 = √ 𝑎 · √ 𝑏, при 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0 2.
√︂𝑎 𝑏 = √ 𝑎 √ 𝑏 , при 𝑎 ≥ 0, 𝑏 > 0
3. √ 𝑎 2 = |𝑎|
4. ( √ 𝑎) 2 = 𝑎, при 𝑎 ≥ 0
Зададимся вопросом: Почему √ 𝑎 2 = |𝑎|, а ( √ 𝑎) 2 = 𝑎?
Иначе говоря, почему в одном случае у нас появляется модуль, а в другом случае нет? В первом случае 𝑎 может принимать любые значения, в том числе и отрицательные. Тогда при возведении в квадрат у нас пропадет этот знак (если он был), то есть 𝑎 2 ≥ 0 при любом значении 𝑎. При извлечении корня у нас должно получаться строго неотрицательное число и мы его получаем с помощью модуля.
▶ Пример.
При 𝑎 = −5 получаем √︀ (−5)2 = √ 25 = 5 = | − 5|
Во втором случае мы извлекаем корень уже из числа 𝑎, поэтому, чтобы корень существовал, надо, чтобы именно число 𝑎 было неотрицательным (𝑎 ≥ 0). Поскольку 𝑎 будет принимать здесь только неотрицательные значения, то нам модуль для снятия возможного знака числа 𝑎 уже не нужен.
▶ Пример.
При 𝑎 = 49 получаем ( √ 49)2 = 72 = 49
Определение. Кубическим корнем числа 𝑎 называется такое число 𝑏, куб которого равен 𝑎. Иными словами, √3 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑎 = 𝑏 3 .
▶ Пример.
√3 −125 = −5, т.к. (−5)3 = −125.
В отличие от квадратного корня, здесь никаких ограничений на значения 𝑎 и 𝑏 не ставится, так как, во-первых, результат возведения в куб может быть и отрицательным числом, а во-вторых, результат возведения в куб может получаться только единственным образом, то есть значение 𝑎 соответствует единственному значению 𝑏.
▶ Пример.
36 = 62 = (−6)2
Видим, что чтобы получить число 36 мы можем возвести в квадрат как число 6, так и число (-6). Значит, нам надо определяться, какое из них считать "квадратным корнем". −216 = (−6)3 При возведении в куб отрицательного числа получается тоже отрицательное число. Число 216 тоже можно получить только возведя в третью степень число 6. Поэтому и дополнительные условия при извлечении кубического корня не нужны.
Свойства кубического корня
1. √3𝑎𝑏 = √3 𝑎 · √3
2. 3 √︂𝑎 𝑏 = √3 𝑎 √3 𝑏 (при 𝑏 ̸= 0)
3. √3 𝑎 3 = 𝑎
4. ( √3 𝑎) 3 = 𝑎.
Определение. Корнем степени 𝑛 из неотрицательного числа 𝑎 (при условии, что 𝑛 - натуральное четное число!) называется такое неотрицательное число 𝑏, которое при возведении в степень 𝑛 дает число 𝑎. То есть, √𝑛 𝑎 = 𝑏 ⇔
𝑏 𝑛 = 𝑎, 𝑛 = 2𝑘, 𝑘 ∈ 𝑁 𝑏 ≥ 0.
▶ Пример.
√6 64 = 2, так как 2 6 = 64 и 2 - неотрицательное число
Определение. Корнем степени 𝑛 из числа 𝑎 (при условии, что 𝑛 - натуральное нечетное число!) называется такое число 𝑏, которое при возведении в степень 𝑛 дает число 𝑎. То есть, √𝑛 𝑎 = 𝑏 ⇔ {︂ 𝑏 𝑛 = 𝑎, 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ 𝑁
▶ Пример.
√5 −243 = −3, так как (−3)5 = −243
Чтобы понять, есть у нас ограничения на числа 𝑎 и 𝑏, необходимо посмотреть на четность числа 𝑛. Это объясняется тем, что, во-первых, при возведении числа в четную степень результат может быть только неотрицательным, а при возведении в нечетную степень результат может иметь любой знак и ограничения ставить не нужно. Поэтому извлекать корни четных степеней мы можем только из неотрицательных чисел, а корни нечетных степеней - из любых. При этом, извлекая корень четной степени мы по определению получаем именно неотрицательное число, поэтому на 𝑏 тоже накладываются ограничения.
Вы можете создать экзаменационный типовой вариант ВПР, ЕГЭ и ОГЭ на нашем сайте