Все задания №16 по профильной математике из сборника Ященко И. В. ЕГЭ 2023. Планиметрия (задания и ответы)

ЕГЭ 2023. Задание №16 из сборника Ященко И.В теория и практика ЕГЭ 2023 математика 11 класс профильный уровень с ответами и решением, 36 тренировочных вариантов заданий. Планиметрия

В конце работы приведены правильные ответы ко всем заданиям. Вы можете свериться с ними и найти у себя ошибки.

Скачать задания: Скачать

Смотреть онлайн 

Интересные задания:

1. В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐵𝐴𝐶 вдвое больше угла 𝐶𝐴𝐷. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. На продолжении стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸. а) Докажите, что 𝐴𝐿 : 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 : 𝐴𝐶. б) Найдите 𝐸𝐿, если 𝐴𝐶 = 21, tg ∠𝐵𝐶𝐴 = 0,4.

2. В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐵𝐴𝐶 вдвое больше угла 𝐶𝐴𝐷. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точке 𝐿. На продолжении стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбрана такая точка 𝐸, что 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸. а) Докажите, что 𝐴𝐵 : 𝐴𝐿 = 𝐵𝐶 : 𝐴𝐶. б) Найдите 𝐸𝐿, если 𝐴𝐶 = 24, tg ∠𝐵𝐶𝐴 = 0,6.

3. Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 со сторонами 𝐵𝐶 = 7 и 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 20 вписан в окружность радиусом 𝑅 = 16. а) Докажите, что прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 параллельны. б) Найдите 𝐴𝐷.

4. Четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 со сторонами 𝐵𝐶 = 14 и 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 40 вписан в окружность радиусом 𝑅 = 25. а) Докажите, что прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 параллельны. б) Найдите 𝐴𝐷.

5. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 с меньшим основанием 𝐵𝐶 точки 𝐸 и 𝐹 – середины сторон 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 соответсвенно. В каждый из четырехугольников 𝐴𝐵𝐸𝐹 и 𝐸𝐶𝐷𝐹 можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 равнобедренная. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝐴𝐵 = 7, а радиус окружности, вписанной в четырехугольник 𝐴𝐵𝐸𝐹, равен 2,5.

6. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 с меньшим основанием 𝐵𝐶 точки 𝐸 и 𝐹 – середины сторон 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 соответсвенно. В каждый из четырехугольников 𝐴𝐵𝐸𝐹 и 𝐸𝐶𝐷𝐹 можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 равнобедренная. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если 𝐵𝐶 = 16, а радиус окружности, вписанной в четырехугольник 𝐴𝐵𝐸𝐹, равен 7.

7. Окружность с центром в точке 𝐶 касается гипотенузы 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 и пересекает его катеты 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 в точках 𝐸 и 𝐹. Точка 𝐷 – основание высоты, опущенной из вершины 𝐶. 𝐼 и 𝐽 – центры окружностей, вписанных в треугольники 𝐵𝐶𝐷 и 𝐴𝐶𝐷. а) Докажите, что 𝐸 и 𝐹 лежат на отрезке 𝐼𝐽. б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до прямой 𝐼𝐽, если 𝐴𝐶 = 15, 𝐵𝐶 = 20.

8. Окружность с центром в точке 𝐶 касается гипотенузы 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 и пересекает его катеты 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 в точках 𝐸 и 𝐹. Точка 𝐷 – основание высоты, опущенной из вершины 𝐶. 𝐼 и 𝐽 – центры окружностей, вписанных в треугольники 𝐵𝐶𝐷 и 𝐴𝐶𝐷. а) Докажите, что 𝐸 и 𝐹 лежат на отрезке 𝐼𝐽. б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до прямой 𝐼𝐽, если 𝐴𝐶 = 2√ 3, 𝐵𝐶 = 2.

9. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, около которого можно описать окружность, отмечены точки 𝐾 и 𝑁 соотвественно. Около четырехугольников 𝐴𝐾𝑁𝐷 и 𝐵𝐶𝑁𝐾 также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равен 0,25. а) Докажите, что четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 является равнобедренной трапецией. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐴𝐾𝑁𝐷, если радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐾 : 𝐾𝐵 = 2 : 5, а 𝐵𝐶 < 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 = 4.

10. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, около которого можно описать окружность, отмечены точки 𝐾 и 𝑁 соотвественно. Около четырехугольников 𝐴𝐾𝑁𝐷 и 𝐵𝐶𝑁𝐾 также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равен 0,2. а) Докажите, что прямые 𝐾𝑁 и 𝐴𝐷 параллельны. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐵𝐶𝑁𝐾, если радиус окружности, описанной около четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, равен 7, 𝐴𝐾 : 𝐾𝐵 = 9 : 10, а 𝐵𝐶 < 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 = 10.

11. Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 лежат на окружности в указанном порядке, причем 𝐴𝐸 = 𝐸𝐷 = 𝐶𝐷, а прямые 𝐴𝐶 и 𝐵𝐸 перпендикулярны. Отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑇. а) Докажите, что прямая 𝐸𝐶 пересекает отрезок 𝑇 𝐷 в его середине. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝑇, если 𝐵𝐷 = 6, 𝐴𝐸 = √ 6.

12. Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 лежат на окружности в указанном порядке, причем 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, а 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐸. Точка 𝐾 – пересечение прямых 𝐵𝐸 и 𝐴𝐷. а) Докажите, что прямая 𝐶𝐸 делит отрезок 𝐾𝐷 пополам. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐾, если 𝐴𝐷 = 4, 𝐷𝐶 = √ 3.

13. В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 угол 𝐴 острый. На продолжениях сторон 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 за точку 𝐷 выбраны точки 𝑀 и 𝑁 соответсвенно, причем 𝐴𝑁 = 𝐴𝐷 и 𝐶𝑀 = 𝐶𝐷. а) Докажите, что 𝐵𝑁 = 𝐵𝑀. б) Найдите 𝑀𝑁, если 𝐴𝐶 = 5, sin ∠𝐵𝐴𝐷 = 5 13 .

14. В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 тангенс угла 𝐴 равен 1,5. На продолжениях сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 параллелограмма за точку 𝐵 выбраны точки 𝑁 и 𝑀 соответсвенно, причем 𝐵𝐶 = 𝐶𝑁 и 𝐴𝐵 = 𝐴𝑀. а) Докажите, что 𝐷𝑁 = 𝐷𝑀. б) Найдите 𝑀𝑁, если 𝐴𝐶 = √ 13.

15. Около окружности с центром 𝑂 описана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. а) Докажите, что ∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐶𝑂𝐷 = 90∘ . б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, а площадь четырхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции состаляет 12 49 площади трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷.

16. Около окружности с центром 𝑂 описана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. а) Докажите, что треугольник 𝐴𝑂𝐵 прямоугольный. б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, а площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 16 81 площади трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷.

17. Около окружности с центром 𝑂 описана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с Точки 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 – середины сторон соответственно 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴1𝐶𝐵1, 𝐴1𝐵𝐶1 и 𝐵1𝐴𝐶1, пересекаются в одной точке. б) Известно, что 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 13 и 𝐵𝐶 = 10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников 𝐴1𝐶𝐵1, 𝐴1𝐵𝐶1 и 𝐵1𝐴𝐶1.

18. Точки 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 – середины сторон соответственно 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴1𝐶𝐵1, 𝐴1𝐵𝐶1 и 𝐵1𝐴𝐶1, пересекаются в одной точке. б) Известно, что 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 17 и 𝐵𝐶 = 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников 𝐴1𝐶𝐵1, 𝐴1𝐵𝐶1 и 𝐵1𝐴𝐶1.

19. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 основание 𝐴𝐷 в два раза меньше основания 𝐵𝐶. Внутри трапеции взяли точку 𝑀 так, что углы 𝐵𝐴𝑀 и 𝐶𝐷𝑀 прямые. а) Докажите, что 𝐵𝑀 = 𝐶𝑀. б) Найдите угол 𝐴𝐵𝐶, если угол 𝐵𝐶𝐷 равен 64∘ , а расстояние от точки 𝑀 до прямой 𝐵𝐶 равно стороне 𝐴𝐷.

20. Точка 𝐾 лежит на отрезке 𝐴𝐵. Прямая, проходящая через точку 𝐵, касается окружности с диаметром 𝐴𝐾 в точке 𝑁 и второй раз пересекает окружность с диаметром 𝐵𝐾 в точке 𝑀. Продолжение отрезка 𝑁𝐾 пересекает окружность с диаметром 𝐵𝐾 в точке 𝑃. а) Докажите, что прямые 𝐴𝑁 и 𝐵𝑃 параллельны. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐾𝑃, если 𝐵𝑀 = 1 и 𝑀𝑁 = 4.

21. Две окружности касаются внутренним образом в точке 𝐶. Вершины 𝐴 и 𝐵 равнобедренного прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶 лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 𝐴𝐶 вторично пересекает большую окружность в точке 𝐸, а прямая 𝐵𝐶 вторично пересекает меньшую окружность в точке 𝐷. а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 параллельны. б) Найдите 𝐴𝐶, если радиусы окружностей равны 3 и 4.

22. Две окружности касаются внутренним образом в точке 𝐶. Вершины 𝐴 и 𝐵 равнобедренного прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶 лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке 𝐸, а прямая 𝐵𝐶 вторично пересекает меньшую окружность в точке 𝐷. а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 параллельны. б) Найдите 𝐵𝐶, если радиусы окружностей равны √ 15 и 15.

23. В четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂 под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка 𝑂. а) Докажите, что в четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если 𝐴𝐶 = 10, 𝐵𝐷 = 26.

24. В четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂 под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка 𝑂. а) Докажите, что в четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если 𝐴𝐶 = 12, 𝐵𝐷 = 13.

25. В прямоугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали пересекаются в точке 𝑂, а угол 𝐵𝐷𝐶 равен 75∘ . Точка 𝑃 лежит вне прямоугольника, а угол 𝐴𝑃 𝐵 равен 150∘ . а) Докажите, что углы 𝐵𝐴𝑃 и 𝑃 𝑂𝐵 равны. б) Прямая РО пересекает сторону 𝐶𝐷 в точке 𝐹. Найдите 𝐶𝐹, если 𝐴𝑃 = 6√ 3 и 𝐵𝑃 = 4.

26. В прямоугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали пересекаются в точке 𝑂, а угол 𝐵𝐷𝐶 равен 22,5 ∘ . Точка 𝑃 лежит вне прямоугольника, а угол 𝐴𝑃 𝐵 равен 135∘ . а) Докажите, что углы 𝐵𝐶𝑃 и 𝑃 𝑂𝐵 равны. б) Прямая 𝑃 𝑂 пересекает сторону 𝐴𝐷 в точке 𝐹. Найдите 𝐷𝐹, если 𝐶𝑃 = 5√ 2 и 𝐵𝑃 = 7.

27. На сторонах 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶 вне треугольника 𝐴𝐵𝐶 построены равнобедренные прямоугольник 𝐴𝐾𝐶, 𝐴𝐿𝐵 и 𝐵𝑀𝐶 с прямыми углами 𝐾, 𝐿 и 𝑀 соответственно. а) Докажите, что 𝐿𝐶 – высота треугольника 𝐾𝐿𝑀. б) Найдите площадь треугольника 𝐾𝐿𝑀, если 𝐿𝐶 = 4.

28. На сторонах 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶 вне треугольника 𝐴𝐵𝐶 построены равнобедренные прямоугольник 𝐴𝐾𝐶, 𝐴𝐿𝐵 и ВМС с прямыми углами 𝐾, 𝐿 и 𝑀 соответственно. а) Докажите, что 𝐿𝐶 – высота треугольника 𝐾𝐿𝑀. б) Найдите площадь треугольника 𝐾𝐿𝑀, если 𝐿𝐶 = 6.

29. Отрезок, соединяющий середины 𝑀 и 𝑁 оснований 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 соответственно трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 равнобедренная. б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание 𝐵𝐶 исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны 𝐴𝐵, основания 𝐴𝑁 трапеции 𝐴𝐵𝑀𝑁 и вписанной в неё окружности.

30. На сторонах 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶 вне треугольника 𝐴𝐵𝐶 построены равнобедренные прямоугольник 𝐴𝐾𝐶, 𝐴𝐿𝐵 и 𝐵𝑀𝐶 с прямыми углами 𝐾, 𝐿 и 𝑀 соответственно. а) Докажите, что 𝐿𝐶 – высота треугольника 𝐾𝐿𝑀. б) Найдите площадь треугольника 𝐾𝐿𝑀, если 𝐿𝐶 = 10.

31. Точка 𝑂 – центр вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶 окружности. Прямая 𝐵𝑂 вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке 𝑃. а) Докажите, что ∠𝑃 𝑂𝐴 = ∠𝑃 𝐴𝑂. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝑃 𝑂, если радиус описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶 окружности равен 6, ∠𝐵𝐴𝐶 = 75∘ , ∠𝐴𝐵𝐶 = 60∘ .

32. Точка 𝑂 – центр вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶 окружности. Прямая 𝐵𝑂 вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке 𝐸. а) Докажите, что ∠𝐸𝑂𝐶 = ∠𝐸𝐶𝑂. б) Найдите площадь треугольника 𝐴𝐶𝐸, если радиус описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶 окружности равен 6 √ 3, ∠𝐴𝐵𝐶 = 60∘ .

33. Окружность проходит через вершины 𝐴, 𝐵 и 𝐷 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает сторону 𝐵𝐶 в точках 𝐵 и 𝑀, а также пересекает продолжение стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 в точке 𝑁. а) Докажите, что 𝐴𝑀 = 𝐴𝑁. б) Найдите отношение 𝐶𝐷 : 𝐷𝑁, если 𝐴𝐵 : 𝐵𝐶 = 1 : 3, а cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 0,4.

34. Окружность проходит через вершины 𝐴, 𝐵 и 𝐷 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает сторону 𝐵𝐶 в точках 𝐵 и 𝑀, а также пересекает продолжение стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 в точке 𝑁. а) Докажите, что 𝐴𝑀 = 𝐴𝑁. б) Найдите отношение 𝐶𝐷 : 𝐷𝑁, если 𝐴𝐵 : 𝐵𝐶 = 2 : 3, а cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 0,7.

35. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 10 и 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 14. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне 𝐴𝐶, пересекает окружность, вписанную в треугольник 𝐴𝐵𝐶. б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне 𝐴𝐶.

36. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 26 и 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 38. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне 𝐴𝐶, пересекает окружность, вписанную в треугольник 𝐴𝐵𝐶. б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне 𝐴𝐶.

Вы можете создать экзаменационный типовой вариант ВПР, ЕГЭ и ОГЭ на нашем сайте