ЕГЭ 2023. Задание №18 «Числа и их свойства» из сборника Ященко И.В. Теория, как научиться решать задание и практика ЕГЭ 2023 математика 11 класс профильный уровень с ответами и решением, 36 тренировочных вариантов заданий.
В конце работы приведены правильные ответы ко всем заданиям. Вы можете свериться с ними и найти у себя ошибки.
Скачать задания: Скачать
Смотреть онлайн
Интересные задания:
1. Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй – 99 камня, а третья пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 103 камней, во второй – 99, а в третьей – 9?
б) Может ли в третьей коробке оказаться 211 каменей?
в) Во второй коробке 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
2. Есть три коробки: в первой коробке 95 камней, во второй – 104 камня, а третья пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставщуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 199 камней.
б) Могло ли в первой коробке оказаться 100 камней, во второй – 50, а в третьей – 49?
в) Во второй коробке 2 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
3. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 9177.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
4. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4040.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из четырёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
5. Из 𝑘 кг материала фабрика изготавливает 𝑛 одинаковых деталей массой 𝑚 кг каждая, причем 𝑘 = 𝑛𝑚 + 𝑞, где 𝑞 кг – остатки материала, и 𝑞 < 𝑚. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,2 кг легче деталей старого типа, причем из 63 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 64 кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 15 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 16 – уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 40 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 41 – уже нет?
в) Найдите такое минимальное число 𝑛, что фабрика может выпускать 𝑛 новых деталей из 80 кг материала, а 𝑛 − 1 деталь не сможет, не нарушая условия 𝑞 < 𝑚.
6. Из 𝑘 кг материала фабрика изготавливает 𝑛 одинаковых деталей массой 𝑚 кг каждая, причем 𝑘 = 𝑛𝑚 + 𝑞, где 𝑞 кг – остатки материала, и 𝑞 < 𝑚. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче деталей старого типа, причем из 18 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 21 кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 50 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 51 – уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 36 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 37 – уже нет?
в) Найдите такое минимальное число 𝑛, что фабрика может выпускать 𝑛 новых деталей из 25 кг материала, а 𝑛 − 1 деталь не сможет, не нарушая условия 𝑞 < 𝑚.
7. Трехзначное число, меньше 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число 𝑛.
а) Может ли 𝑛 равняться 68?
б) Может ли 𝑛 равняться 86?
в) Какое наибольшее значение может принимать 𝑛, если все цифры ненулевые?
8. Трехзначное число, меньше 700, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число 𝑛.
а) Может ли 𝑛 равняться 64?
б) Может ли 𝑛 равняться 78?
в) Какое наибольшее значение может принимать 𝑛, если все цифры ненулевые?
9. Есть три коробки: в первой – 97 камней; во второй – 80, а в третьей камней нет. Берут по одному камню из двух коробок и кладут их в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 58 камней, во второй – 59, а в третьей – 60?
б) Может ли в первой и второй коробках камней оказаться поровну?
в) Какое наибольшее количество камней может оказаться во второй коробке?
10. Все члены конечной последовательности явлются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7735.
а) Может ли последовательность состоять из трех членов?
б) Может ли последовательность состоять из шести членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
11. На доске написаны три различных натуральных числа такие. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трехзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
12. На доске написаны три различных натуральных числа такие. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трехзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
15. Отношение трехзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 34?
б) Может ли это отношение быть равным 84?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трехзначного числа равна 4?
16. Отношение трехзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
19. На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.
а) Может ли наибольшее из этих одинадцати чисел равняться 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех одинадцати чисел равняться 10?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одинадцати чисел.
20. На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из их равно −7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
21. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 7, а числа третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
22. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 8, а числа третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
23. Петя участвовал в викторине по истории. За каждый правильный ответ участнику начисляется 8 баллов, за каждый неверный – списываются 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. По результатам викторины Петя набрал 35 баллов.
а) На сколько вопросов Петя не дал ответа, если в викторине было 30 вопросов?
б) На сколько вопросов Петя не дал ответа, если в викторине было 35 вопросов?
в) На сколько вопросов Петя ответил правильно, если в викторине было 33 вопроса?
24. Оля участвовал в викторине по истории. За каждый правильный ответ участнику начисляется 8 баллов, за каждый неверный – списываются 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. По результатам викторины Петя набрал 35 баллов.
а) На сколько вопросов Оля ответила правильно, если в викторине было 24 вопросов?
б) На сколько вопросов Оля не дала ответа, если в викторине было 25 вопросов?
в) На сколько вопросов Оля ответила неверно, если в викторине было 37 вопроса?
25. У Миши в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.
а) Может ли у Миши быть 30 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть у Миши?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Миши?
26. У Коли в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 25 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 30 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.
а) Может ли у Коли быть 50 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть у Коли?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Коли?
Вы можете создать экзаменационный типовой вариант ВПР, ЕГЭ и ОГЭ на нашем сайте