Практика решения задач по стереометрии №14 из ЕГЭ 2023 по математике на 11 классе, правильное заполнение бланка ответов, тренировочные задания и решения для подготовки к экзамену 29 марта 2024 года.
Скачать практику: Скачать
Смотреть онлайн
Интересные задания:
Задание 1. Дан тетраэдр 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точки 𝐾, 𝐿, 𝑀 и 𝑁 лежат на ребрах 𝐴𝐶, 𝐴𝐷, 𝐷𝐵 и ВС соответственно, так, что четырехугольник 𝐾𝐿𝑀𝑁 квадрат со стороной 2. 𝐴𝐾 : 𝐾𝐶 = = 2 : 3. а) Докажите, что 𝐵𝑀 : 𝑀𝐷 = 2 : 3. 6) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝐾𝐿𝑀𝑁, если объем тетраэдра равен 25.
Задание 2. Все боковые стороны четырехугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 равны 𝐴𝐷 стороне основания 𝐴𝐵𝐶𝐷. Стороны 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷 вдвое меньше стороны 𝐴𝐷. а) Докажите, что высота пирамиды, опущенная из вершины 𝑆, проходит через середину 𝐴𝐷. б) В каком отношении, считая от точки 𝑆, плоскость 𝐵𝑁𝑀 делит высоту пирамиды, если 𝑁 – середина 𝑆𝐶, в точка М делит ребро 𝑆𝐷 в отношении 1 : 3, считая от точки 𝑆.
Задание 3. Дана прямая призма 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1. 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с основанием 𝐴𝐵. На 𝐴𝐵 отмечена точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃 : 𝑃 𝐵 = 3 : 1. Точка 𝑄 делит пополам ребро В1С1. Точка 𝑀 делит пополам ребро 𝐵𝐶. Через точку 𝑀 проведена плоскость 𝛼, перпендикулярная Р𝑄. а) Докажите, что прямая 𝐴𝐵 параллельна плоскости 𝛼. 6) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит 𝑃 𝑄, если 𝐴𝐴1 = 5, 𝐴𝐵 = 12, cos ∠𝐴𝐵𝐶 = 3 5 .
Задание 4. Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями 𝐴𝐷 = 5 и 𝐵𝐶 = 4. 𝑀 — точка, которая делит сторону 𝐴1𝐷1 в отношении 1 : 4, 𝐾 — середина 𝐷𝐷1. а) Доказать, что 𝑀𝐶𝐾 ‖ 𝐵𝐷. 6) Найти тангенс угла между плоскостью 𝑀𝐾𝐶 и плоскостью основания, если ∠𝐵𝐴𝐶 = = 60∘ , а ∠𝐶𝐾𝑀 = 90∘ .
Задание 5. Основанием прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 является параллелограмм. На рёбрах 𝐴1𝐵1, 𝐵1𝐶1 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причем 𝐵𝐾 : 𝐾𝐶1 = 1 : 2, а 𝐴𝑀𝐾𝑁 – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что 𝑁 — середина 𝐵𝐶. 6) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁, если объем призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равен 12, а её высота равна 2.
Задание 6. У тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝐷 грани 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷 перпендикулярны и являются правильными треугольниками со стороной 10. На рёбрах 𝐴𝐵, 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 взяли точки 𝐾, 𝐿 и 𝑀 соответственно так, что 𝐵𝐾 = 2, 𝐴𝐿 = 4 и 𝐷𝑀 = 3. а) Докажите, что плоскость 𝐾𝐿𝑀 перпендикулярна ребру 𝐶𝐷. 6) Найдите длину отрезка, образованного пересечением плоскости 𝐾𝐿𝑀 с гранью 𝐴𝐵𝐶.
Задание 7. В основании четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 лежит квадрат. Плоскость 𝛼 пересекает рёбра 𝑆𝐴, 𝑆𝐵, 𝑆𝐶, 𝑆𝐷 в точках 𝐿, 𝐾, М и 𝑁 соответственно, причём 𝑆𝐾 : 𝐾𝐵 = 3 : 1, а точки 𝐿 и 𝑀 — середины рёбер ЅА и 𝑆𝐷. а) Докажите, что четырёхугольник 𝐾𝐿𝑀𝑁 является трапецией, длины оснований которой относятся как 2 : 3. 6) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями 𝐴𝐵𝐶 и 𝛼 равен 30∘ , а площадь сечения пирамиды плоскостью 𝛼 равна 10√ 2, а площадь основания пирамиды равна 32.
Задание 8. Дана пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, в основании которой лежит прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Сечение пирамиды — трапеция 𝐾𝐿𝑀𝑁, причём точки 𝐾, 𝐿, 𝑀 и 𝑁 лежат на рёбрах 𝑆𝐵, 𝑆𝐴, 𝑆𝐷 и 𝑆𝐶 соответственно. Известно, что основания этой трапеции 𝐾𝐿 = 4, 𝑀𝑁 = 3, а 𝑆𝐾 : 𝐾𝐵 = 2 : 1. а) Докажите, что точки 𝑀 и 𝑁 — середины рёбер 𝑆𝐷 и 𝑆𝐶. 6) Пусть 𝐻 – точка пересечения диагоналей прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, а 𝑆𝐻 — высота пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷. Найдите 𝑆𝐻, если известно, что площадь прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 48, а площадь трапеции 𝐾𝐿𝑀𝑁 равна 24.
Вы можете создать экзаменационный типовой вариант ВПР, ЕГЭ и ОГЭ на нашем сайте