ЕГЭ 2023. Задание №16 из ЕГЭ последних пяти лет. Планиметрическая задача. В работе представлены 35 заданий с решениями.
Скачать задание №16: Скачать
Смотреть онлайн
Интересные задания:
№16.1 (2023, досрочная волна)
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
a) Докажите, что NC : CM = BL : LA.
б) Найдите MN, если BL : LA = 3 : 2, а радиус малой окружности равен √23
№16.2 (2023, досрочная волна)
Две окружности касаются внешним образом в точке B. AB и BC — диаметры первой и второй окружностей. Из точки A проведена касательная AM ко второй окружности, которая вторично пересекает первую окружность в точке K. Луч MB вторично пересекает первую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника BCD, если AK = 7, KM = 14.
№16.3 (2023, досрочная волна)
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
a) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
№16.4 (2022, основная волна)
На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки B на биссектрису и на другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD соответственно.
a) Докажите, что AC2 + CD2 = AD2 + BD2
б) Прямые AC и BD пересекаются в точке T. Найдите отношение AT : T C, если cos ∠ABC =38.
№16.5 (2022, основная волна)
В параллелограмме ABCD на стороне BC взята точка M такая, что AM = MC.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник AMD, лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB = 5, BC = 10, ∠BAD = 60°.
№16.6 (2022, основная волна)
В параллелограмме ABCD проведена биссектриса AL угла BAC. На прямой CD за точкой D отметили точку E такую, что AE = EC. Кроме того, ∠BAC = 2∠CAD.
а) Докажите, что треугольники BAC и BAL подобны.
б) Найдите EL, если tg ∠BAC = 0, 25 и AC = 12.
№16.7 (2022, основная волна)
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D такая, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.
a) Докажите, что AB : BC = AE : EK.
б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD : DC = 3 : 2.
№16.8 (2022, основная волна)
Дан треугольник ABC, в котором проведены три высоты: AA1, BB1 и CC1. Через точку C1 проведена прямая, параллельная BB1, которая пересекает AA1 в точке K. Пусть H — точка пересечение высот треугольника ABC.
а) Докажите, что AB · KH = BC · C1H.
б) Найдите отношение площадей треугольников C1HK и ABC, если AB = 4, BC = 5 и AC √17.
№16.9 (2022, основная волна)
Биссектриса BB1 и высота CC1 треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M и N соотвественно. Известно, что угол BCA равен 85° и угол ABC равен 40°.
а) Докажите, что BM = CN.
б) Пусть MN и BC пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 7.
№16.10 (2022, досрочная волна)
Прямая, параллельная боковой стороне CD равнобокой трапеции ABCD, пересекает боковую сторону AB в точке F и основание AD в точке E. Оказалось, что F C = ED.
а) Докажите, что углы AF E и BCF равны.
б) Известно, что F E = 5, ED : F B = 3 : 1, а площадь четырехугольника F CDE равна 14√ 35. Найдите площадь трапеции ABCD.
№16.11 (2022, досрочная волна)
Точка M — середина стороны AB треугольника ABC. В треугольник вписана окружность, которая касается AB в точке P.
а) Докажите, что PM =12|AC − BC|.
б) Известно, что BC > AC и AM = MC, а PM относится к радиусу вписанной окружности как 7 к 4. Найдите углы треугольника.
№16.12 (2022, досрочная волна)
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что AM : MB = N : NB = 1 : 2. Вписанная окружность треугольника ABC касается отрезка MN в точке L.
а) Докажите что AB + BC = 5AC.
б) Известно, что ML = 1, LN = 3. Найдите радиус вписанной окружности.
№16.13 (2022, резервная волна)
Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC. На стороне AC взяли точку D, а также отметили центры I и J описанных окружностей треугольников AB и CBD соответственно.
а) Докажите, что BI ∥ DJ.
б) Найдите IJ, если AC = 12 и cos ∠BDC =37.
№16.14 (2021, основная волна)
Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 4, sin ∠BAD =817.
№16.15 (2021, основная волна)
Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.
а) Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.
б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где N — точка пересечения отрезков AD и CK.
Вы можете создать экзаменационный типовой вариант ВПР, ЕГЭ и ОГЭ на нашем сайте