Олимпиада проводится для всех желающих учеников 8-11 классов с разным уровнем подготовки. Соревнование включает два этапа: отборочный и заключительный. Отборочный этап проводится в заочной форме. Победители и призеры отборочного этапа приглашаются в финал.
Скачать задания для 9 класса: Скачать
Скачать задания для 10 класса: Скачать
Скачать задания для 11 класса: Скачать
Интересные задания
1. [3 балла] Найдите все значения параметра t, при каждом из которых уравнение x 2 + 2√ 3tx + + 4t 2 − 4 = 0 имеет два различных действительных корня, а их произведение положительно.
2. [4 балла] Натуральные числа a и b таковы, что их сумма равна 40, а значение выражения a 2 − 2ab + b 2 + 15a − 15b равно 17p 5 , где p – некоторое простое число. Найдите числа a и b.
3. [5 баллов] На стороне BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM = MN = NC. Прямая, параллельная AN и проходящая через точку M, пересекает продолжение стороны AC за точку A в такой точке D, что AB = CD. Найдите AB, если BC = 12, cos(2∠CAN) = − 1 4 .
4. [5 баллов] В классе для занятий иностранным языком стоят три ряда парт, в каждом из которых по три парты, расположенных друг за другом. Парта рассчитана на одного человека. Школьник хорошо видит доску в любом из следующих случаев (и только в них): • он сидит на первой парте в ряду, • ближайшая парта перед ним пуста, • за ближайшей партой перед ним сидит ученик меньшего роста. Сколькими способами можно рассадить в классе 8 учеников группы так, чтобы всем было хорошо видно доску, если известно, что все школьники разного роста? Ответ дайте в виде числа или выражения, содержащего не более двух слагаемых (в слагаемые могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
5. [5 баллов] Продолжение сторон BC (за точку C) и AD (за точку D) вписанного в окружность четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Центр O окружности, вписанной в треугольник ABE, лежит на отрезке CD. Найдите наименьшее возможное значение суммы ED + DO, если известно, что BE = 10.
6. [4 балла] На острове расположено несколько деревень. Между некоторыми деревнями проложены дороги. Известно, что из любой деревни в любую другую можно добраться, причём по единственному маршруту. Также известно, что есть четыре деревни, из которых выходят 3, 4, 5 и 7 дорог соответственно, а из остальных деревень выходит ровно по одной дороге. Сколько деревень может быть на острове?
7. [5 баллов] Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие уравнению p 2x + 2y − x 2 − y 2 + p 1 − |x + y − 2| = 1.
Вы можете создать экзаменационный типовой вариант ВПР, ЕГЭ и ОГЭ на нашем сайте